文|創瞰巴黎 Peter Tankov

編輯|Meister Xia

導讀

Black-Scholes公式是一個用于計算期權價格的數學公式，由Fischer Black和Myron Scholes于1973年發表。數學家發現隨機微積分是理解Black-Scholes理論的最佳工具，并在法國建立了第一批量化金融教育項目。Black-Scholes公式具有怎樣的優勢和缺陷？它對期權交易帶來哪些影響？

一覽：

• 50年前，Fischer Black和Myron Scholes共同描述了一種判斷看漲期權價格的方法。
• 基于動態套期保值策略的Black-Scholes公式使期權交易的風險控制成為可能，從而促進了衍生品市場的發展。
• 如今，期權市場的風險管理仍然基于Black和Scholes首創的動態對沖原理，Black-Scholes公式雖然很少被直接使用，但投資者仍然能夠依托這一公式去表達更為復雜的想法。
• 法國數學界在金融數學的發展中發揮了關鍵作用。

法國致力于數學人才的培養，大學與金融機構也開展了緊密合作，在這樣的背景下，法國的高等學府首創了諸多金融數學課程，這些課程至今仍然代表著該領域的卓越水平。

50年前，Fischer Black和Myron Scholes合著并發表了一篇具有里程碑意義的論文——《期權定價和公司債務》（The Pricing of Options and Corporate Liabilities），文內描述了一種判斷看漲期權價格的方法。看漲期權是一種金融合約，它賦予持有者在未來某個特定日期，以特定價格購買某種金融資產（標的資產）的權利（但不是義務）。盡管這一公式十分重要，但它并非該論文的主要貢獻，畢竟，在Black-Scholes公式推出之前，市場上已有類似理論，其中以Louis Bachelier于1900 年發表的論文《投機理論》“Théorie de la Spéculation”最為有名。《期權定價和公司債務》的主要貢獻，是Black和Schole論證這一公式所使用的方法。

要想更好理解他們的論證，我們不妨先回顧一下什么是看漲期權。看漲期權的價格顯然取決于標的資產的價格，后者價格的高低會直接影響前者。隨著時間的推移，資產的價格會上下波動，期權價格也會隨之波動。從理論上來說，通過動態購買資產，投資者可以建立起一個投資組合，讓其價值波動與期權價格的波動保持一致。這樣，即便投資者已經賣出期權，但只要他持有這種動態投資組合，其頭寸將免受市場波動的影響，因此基本可以規避全部風險。

“Black-Scholes理論的普及可以提高期權交易的確定性，并更好地實現風險管控。”

Black和Scholes理論的關鍵在于，如果頭寸無風險，那么該頭寸的收益應該等同于無風險資產（如計息債券）的收益。這一觀點背后的概念叫做“無套利”。如果投資者的無風險頭寸收益與利率不同，那么投資者便可在不承擔任何風險的情況下迅速致富。認識到對沖投資組合的收益等于利率之后，Black和Scholes推導出了期權價格方程，投資者可以通過公式求解。

Black和Scholes使用了一個期權對沖策略，這對公式而言可謂是“畫龍點睛”：投資者按Black和Scholes公式給出的價格賣出期權后，可以立即制定一個策略來最大程度地降低，甚至完全消除與該頭寸相關的風險。在Black-Scholes公式推出之前，市場上并沒有一套系統性的方法來計算出類似的動態套期保值策略，也正因為此，衍生品市場的發展始終無法提速。

01 Black-Scholes公式的成長史

隨著Black-Scholes公式知名度的不斷提升，期權交易的安全性得到了顯著改善，風險也被大幅降低。這推進了期權交易的擴大和期權市場的建立，如芝加哥期權交易所（1973年建立）、巴黎期權交易市場（1987年建立）等。

Black-Scholes公式的成長史充滿了動蕩與挫折。1987年發生的金融危機給它敲響了第一次警鐘：該公式背后的一個關鍵假設是“連續時間無規行走”（continuous time random walk），這意味著資產價格在短時間內（如一天）出現大幅波動的可能性非常小。然而，1987年10月19日這一天（著名的“黑色星期一”），道瓊斯工業平均指數（當時美國經濟的主要指數）下跌了22.6%，令旨在防范此類暴跌的看跌期權賣家損失慘重。很明顯，當市場運行狀況良好時，Black-Scholes公式能為投資者擋住大部分風險，但它無法抵御黑色星期一這種極端事件的沖擊。

為了應對動蕩，金融市場決定調整公式參數：與捕捉市場日常微小波動的期權相比，針對市場崩潰提供保護的期權現在會以更高的波動率參數定價。由于波動率圖在交易員的屏幕上會呈現類似微笑的形狀，因此這種效應被稱為“波動率微笑”。自那之后，Black-Scholes公式又出現了更為復雜的擴展：局部波動率模型、隨機波動率模型、粗略波動率模型等。

當然，Black-Scholes公式也受到過一些學者的質疑，他們認為，模型多樣化是提升風險管理的必備要素，例如，可以考慮Benoit Mandelbrot提出的分形幾何模型。然而，由于這些模型無法進行有效的對沖，它們并未在金融業得到大規模推廣。期權市場的風險管理仍然基于Black和Scholes首創的動態對沖原理，Black-Scholes公式雖然很少被直接使用，但投資者仍然能夠依托這一公式去表達更為復雜的想法。

02 數學與金融

鑒于Black-Scholes公式源自一個方程，人們難免會想到物理學中用于描述熱量在固體中傳播的“熱方程”。因此，第一批“礦工”（Quant）來自物理學背景似乎不足為奇。然而，數學家很快意識到，最適合開發期權定價理論的不是物理學家，而是他們自己。1979年，Harrison和Kreps發表了一篇描述資本市場投機行為的論文，1982年，Harrison又和Pliska發表了一篇有關隨機分析和連續交易的論文，這兩篇里程碑式的論文發表后，隨機分析開始被視為描述套利、動態對沖以及最終期權定價的完美工具。在日本數學家伊藤清（Kyosi Ito）提出伊藤積分后，巴黎和斯特拉斯堡的概率學派又進一步擴充了這一模型。可以說，諸多數學家都在金融公式中找到了存在感和歸屬感，畢竟，這里不僅充滿了有趣的研究課題，還有充滿求知欲的學生，以及可靠的合作伙伴。自那之后，數學界和金融界開展了曠日持久的合作：數學家會幫助交易員評估期權，金融界也在不斷為數學家們注入靈感。該合作進一步推動了概率論新分支的出現。

“自那之后，數學界和金融界開展了曠日持久的合作。”

不幸的是，部分交易者高估了數學模型的威力，誤以為無論多復雜的期權都能實現完美定價和對沖。2008年全球金融危機爆發時，有些人認為數學家難辭其咎，將罪名扣到了數學模型上，認為這些“大規模殺傷性武器”導致了危機的發生。但事實上，危機的起因并不是數學研究太多，而是太少。當時，銀行用來為擔保債務憑證（一種對危機負有主要責任的金融衍生品）定價的公式過于簡單，與這些復雜產品相關的諸多風險都被忽略了。

此次金融危機不僅撼動了金融業，也為金融數學帶來了深刻的變化。后者的研究重點不再是開發復雜的期權定價模型，而是轉向更為穩健的投資和風險管理，如金融系統的系統性失靈風險。

03 法國的貢獻

20世紀80年代末，巴黎一躍成為一個擁有眾多銀行和新興期權市場的國際金融中心。大批世界頂尖的概率、隨機分析以及隨機控制專家都居住在此。另一方面，法國高等教育體系中的“大學”（Grandes Ecoles）非常重視數學方面的綜合培養，而且許多法國學生都熱衷于研究數學的新應用。

因此，20世紀80年代末的巴黎成為了數學發展的沃土。在此，金融數學得到了大力支持、定量金融走進了學校講堂，大學與金融機構之間也開展了多項合作。這一新領域吸引了多位法國知名概率學家的興趣。其中包括Nicole El Karoui、Hélyette Geman、Nicolas Bouleau、Damien Lamberton和Bernard Lapeyre。

1990年，朱西厄數學研究所（現索邦大學）的概率論碩士課程中開設了金融數學方向。該專業吸引了大量來自巴黎綜合理工學院和巴黎高科路橋大學等一流工科院校的學生，他們不僅在此學習了Black-Scholes理論，還運用了別具法國特色的隨機分析模型。大約在同一時期，巴黎高科路橋大學開設了金融數學課程。也正因為此，D. Lamberton和B. Lapeyre于1992年出版了合著的《隨機微積分在金融領域的應用》（Calcul stochastique appliquée à la finance）一書。1997年，Nicole El Karoui成為了巴黎綜合理工學院的教授，并在應用數學專業開設了“金融學中的隨機方法”課程。

在次貸危機爆發前的10年里，上述專業和其他相關專業的學生人數出現了激增，2006年的法國《世界報》（Le Monde）甚至稱，“全球每三個經濟學家中，就有一個是法國人”。金融危機爆發后，由于銀行招聘崗位暫時縮減，學生入學率在一定程度上有所下降。此外，教學計劃的重點也從期權定價轉向了風險管理和監管。如今，法國“礦工”的增速雖已趨于平緩，但巴黎綜合理工大學的應用數學專業，以及歷史悠久的概率與金融碩士課程（現由巴黎綜合理工學院和索邦大學共同管理）仍然代表著該領域的卓越水平。